Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheitswurzeln/Nicht injektiv/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Galoiserweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$

aus Fakt nicht injektiv

ist.

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