Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheitswurzeln/Nicht sujektiv/Aufgabe

Betrachte die endlichen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt[{3}]{1+{\mathrm {i} }}}]=K\,.$

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),$

aus Fakt nicht surjektiv ist.

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