Endliche Körpererweiterung/Galoissch/Einheitswurzeln/Kern/Fixkörper/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}H$ der Kern des Gruppenhomomorphismus

\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)}),\,\sigma \longmapsto (\zeta \mapsto \sigma (\zeta )),

aus Fakt. Zeige ${}K^{H}=K_{n}$ , wobei ${}n$ die Anzahl der Einheitswurzeln in ${}K$ bezeichnet.