Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{z_{1},\ldots ,z_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$. Zeige, dass dann für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

${}G=(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})\,$

gilt.

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