Endliche Körpererweiterungen/Separable Polynome/Verschiedene Charakterisierungen/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. ${}F$ und die (formale) Ableitung ${}F'$ sind teilerfremd.
2. ${}F$ und die (formale) Ableitung ${}F'$ erzeugen das Einheitsideal.
3. ${}F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen.
4. Es gibt einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$, so dass ${}F$ als Polynom in ${}L[X]$ in ${}n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

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