Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}M=\{1,2,\ldots ,m\}$ und sei ${}A$ die Menge aller Abbildungen von ${}M$ nach ${}\mathbb {N}$ mit Gesamtvielfachheit ${}\ell$. Wir behaupten, dass die Abbildung

$\Psi \colon A\longrightarrow {\mathfrak {P}}_{m-1}\,(\{1,\ldots ,m+\ell -1\}),\,g\longmapsto \{(g(1)+1,g(1)+g(2)+2,g(1)+g(2)+g(3)+3,\ldots ,g(1)+g(2)+g(3)+\cdots +g(m-1)+m-1\}$

bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist folgendermaßen gegeben: Zu jeder Teilmenge ${}m-1$-elementigen Teilmenge ${}T\subseteq \{1,\ldots ,m+\ell -1\}$ gehört über die induzierte Ordnung eine natürliche Bijektion

$h_{T}\colon \{1,\ldots ,m-1\}\longrightarrow T$

(${}h_{T}(1)$ ist das kleinste Element von ${}T$, u.s.w.) Damit definieren wir eine Abbildung

$\Theta \colon {\mathfrak {P}}_{m-1}\,(\{1,\ldots ,m+\ell -1\})\longrightarrow A,\,T\longmapsto {\left(y\mapsto {\#\left({\left\{z\in \{1,\ldots ,m+\ell -1\}\mid h_{T}(y-1)<z<h_{T}(y)\right\}}\right)}\right)}.$

wobei bei die Bedingung für ${}h_{T}(0)$ und ${}h_{T}(m)$ gegenstandslos ist.

Zur bewiesenen Aussage