Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung

Partitionen stehen in einem engen Verhältnis zu surjektiven Abbildungen. Eine surjektive Abbildung ${}f$ von einer ${}n$-elementigen Menge in eine ${}k$-elementige Menge liefert über die Menge der Fasern ${}f^{-1}(j)$ zu ${}j\in \{1,\ldots ,k\}$ eine Partition der Ausgangsmenge. Es liegt also eine natürliche Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Surj} (n,k)\longrightarrow \operatorname {Part} (n,k),\,f\longmapsto \{f^{-1}(j),j\in \{1,\ldots ,k\}\},$

vor (mit naheliegenden Bezeichnungen). Diese ist surjektiv, da man bei einer Partition in ${}k$ Blöcke die Blöcke mit ${}1$ bis ${}k$ durchnummerieren kann und dann die Abbildung heranziehen kann, die jedes Element auf die Nummer ihres Blockes abbildet. Die Abbildung ${}\Psi$ kann man auch folgendermaßen interpretieren: Man definiert auf der Menge der surjektiven Abbildungen eine Äquivalenzrelation, bei der man ${}f\sim g$ dadurch festlegt, dass es eine Permutation ${}h$ auf ${}\{1,\ldots ,k\}$ mit

${}f=h\circ g\,$

gibt (siehe Aufgabe). Dabei sind zwei surjektive Abbildungen genau dann zueinander äquivalent, wenn sie die gleiche Partition definieren. Aufgrund von Fakt kann man also ${}\operatorname {Part} (n,k)$ als Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation ansehen.