Beide Seiten der Siebformel verhalten sich additiv, wenn eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge vorliegt. Deshalb genügt es, die Aussage für eine einelementige Menge zu zeigen
(man fragt sich für jedes Element, wie oft es links und wie oft es rechts gezählt wird).
Sei also
.
Dann gibt es für die Teilmengen nur die Möglichkeiten
oder
.
Wir können annehmen, dass
-
und
-
ist. Zu einer Teilmenge
ist dann
einelementig genau dann, wenn
ist, und sonst immer leer. Daher ist die rechte Seite gleich
Dies ist bei
gleich und sonst nach
Aufgabe
gleich , was mit der linken Seite übereinstimmt.