Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe/Lösung


Sei zuerst

Wir nennen das Minimum rechts . Wir wählen Teilmengen und mit jeweils Elementen und eine bijektive Abbildung

Diese erweitern wir zu einer Abbildung

indem wir die Werte zu Elementen aus irgendwie festlegen. Das Bild von besitzt zumindest Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch faktorisieren, da weniger als Elemente besitzt.

Es sei nun

Dabei sei zunächst

Daher gibt es eine injektive Abbildung von nach , und wir fixieren eine injektive Abbildung

Es sei

vorgegeben. Wir definieren

durch

wobei fixiert ist. Dabei ist

nach Konstruktion.

Es sei nun

Bei ist die Aussage direkt klar, sei also . Dann gibt es eine surjektive Abbildung von nach , und wir fixieren eine surjektive Abbildung

Es sei

vorgegeben. Wir definieren

durch

wobei ein Element mit

ist. Dabei ist

nach Konstruktion.