Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe/Lösung

Sei zuerst

{}m<\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.

Wir nennen das Minimum rechts ${}k$ . Wir wählen Teilmengen ${}S=L$ und ${}T=N$ mit jeweils ${}k$ Elementen und eine bijektive Abbildung

{\tilde {h}}\colon S\longrightarrow T.

Diese erweitern wir zu einer Abbildung

h\colon L\longrightarrow N,

indem wir die Werte zu Elementen aus ${}L\setminus S$ irgendwie festlegen. Das Bild von ${}h$ besitzt zumindest ${}k$ Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch ${}M$ faktorisieren, da ${}M$ weniger als ${}k$ Elemente besitzt.

Es sei nun

{}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.

Dabei sei zunächst

{}\ell =\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.

Daher gibt es eine injektive Abbildung von ${}L$ nach ${}M$ , und wir fixieren eine injektive Abbildung

f\colon L\longrightarrow M.

Es sei

h\colon L\longrightarrow N

vorgegeben. Wir definieren

g\colon M\longrightarrow N

durch

{}g(y)={\begin{cases}h(x),{\text{ falls }}y=f(x)\\\,z{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

wobei ${}z\in N$ fixiert ist. Dabei ist

{}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,

nach Konstruktion.

Es sei nun

{}n=\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.

Bei ${}n=0$ ist die Aussage direkt klar, sei also ${}n\geq 1$ . Dann gibt es eine surjektive Abbildung von ${}M$ nach ${}L$ , und wir fixieren eine surjektive Abbildung