Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe/Lösung

a) Es gibt ${}2$ Abbildungen von einer einelementigen Menge in eine zweielementige Menge, die stets injektiv sind. Dagegen gibt es überhaupt nur eine Abbildung von einer zweielementigen Menge auf eine einelementige Menge, die natürlich surjektiv ist.

b) Wir betrachten injektive Abbildungen

$\varphi \colon \{1,2\}\longrightarrow \{1,2,3\}.$

Es gibt ${}3$ Möglichkeiten für ${}\varphi (1)$ und es gibt ${}2$ Möglichkeiten für ${}\varphi (2)$ (da ja ${}\varphi (1)$ schon besetzt ist), also insgesamt ${}6$ Möglichkeiten. Zur Bestimmung der surjektiven Abbildungen

$\varphi \colon \{1,2,3\}\longrightarrow \{1,2\}$

überlegen wir uns, dass dabei ${}2$ Elemente auf ein gleiches Element abgebildet werden müssen. Dafür gibt es ${}3$ Paare. Für das Paar gibt es dann ${}2$ Möglichkeiten, wohin es abgebildet wird, also gibt es ${}6$ surjektive Abbildungen.

c) Wir betrachten injektive Abbildungen

$\varphi \colon \{1,2,3\}\longrightarrow \{1,2,3,4\}.$

Es gibt ${}4$ Möglichkeiten für ${}\varphi (1)$, es gibt ${}3$ Möglichkeiten für ${}\varphi (2)$ (da ja ${}\varphi (1)$ schon besetzt ist) und es gibt ${}2$ Möglichkeiten für ${}\varphi (3)$, also insgesamt ${}24$ Möglichkeiten. Zur Bestimmung der surjektiven Abbildungen

$\varphi \colon \{1,2,3,4\}\longrightarrow \{1,2,3\}$

überlegen wir uns, dass dabei ${}2$ Elemente auf ein gleiches Element abgebildet werden müssen. In einer ${}4$-elementigen Menge gibt es ${}6$ Paare. Wenn

das Paar feststeht, so geht es um die Anzahl der bijektiven Abbildungen auf einer ${}3$-elementigen Menge, das sind ${}6$. Also gibt es insgesamt ${}36$ surjektive Abbildungen.

Zur gelösten Aufgabe