Endliche Mengen und Gleichmächtigkeit/Äquivalenzrelation/Natürliche Anzahl/Beispiel

Ein Obstverkäufer verfüge über eine unendliche Menge ${}M$ von qualitativ gleichwertigen Äpfeln. Wenn man zu ihm geht und zehn Äpfel bestellt, so hat der Verkäufer verschiedene Möglichkeiten, diesen Wunsch zu verwirklichen, da ja jede Teilmenge seiner Gesamtmenge diesen Wunsch erfüllt, so lange sie eben genau aus ${}10$ Äpfeln besteht. Es sind also alle ${}10$-elementigen Teilmengen hinsichtlich ihrer Anzahl als gleichwertig zu betrachten, auch wenn es sich um jeweils andere Äpfel handelt. Eine wichtige Beobachtung hierbei ist, dass diese Gleichmächtigkeit (Gleichanzahligkeit) zwischen Teilmengen besteht und festgestellt werden kann unabhängig davon, ob man die natürlichen Zahlen schon kennt oder nicht. Sondern zu zwei Teilmengen kann man durch direkten Vergleich untereinander feststellen, ob sie beide aus gleich vielen Äpfeln bestehen oder nicht. Diese Gleichmächtigkeit definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der endlichen Teilmengen der Gesamtmenge ${}M$.

Es gibt also zu jeder unendlichen Menge ${}M$ auf der Menge ${}{\mathcal {E}}(M)$ der endlichen Teilmengen von ${}M$ die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit. Zu jeder endlichen Teilmenge ${}T\subseteq M$ besteht die zugehörige Äquivalenzklasse aus sämtlichen Teilmengen von ${}M$, die man zu ${}T$ in Bijektion bringen kann, die also die gleiche Anzahl wie ${}T$ besitzen. Die leere Menge ist nur zu sich selbst äquivalent, alle einelementigen Teilmengen sind untereinander äquivalent, etc. Die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation, also die Menge der Äquivalenzklassen, ist ein Peano-Modell für die natürlichen Zahlen. Die durch die leere Menge ${}\emptyset$ bestimmte Äquivalenzklasse ${}[\emptyset ]$ wird zum ausgezeichneten Element. Die Nachfolgerabbildung wird dadurch definiert, dass man zu einer Äquivalenzklasse ${}[T]$ die Menge ${}T$ zu einer Menge ${}T'=T\cup \{x\}$ mit ${}x\in M,\,x\not \in T$ erweitert, was möglich ist, da ${}T$ endlich ist und ${}M$ unendlich. Dann setzt man ${}[T]':=[T']$ und zeigt, dass dies unabhängig von der Wahl von ${}x$ und daher eine wohldefinierte Abbildung ist. Diese Quotientenmenge bildet ein Peano-Modell für die natürlichen Zahlen.