Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge ${}M$. Für ${}{\#\left(M\right)}=1$ ist nichts zu zeigen, sei also ${}{\#\left(M\right)}\geq 2$. Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also ${}\pi$ nicht die Identität, und sei ${}\pi (x)=y\neq x$. Es sei ${}\tau$ die Transposition, die ${}x$ und ${}y$ vertauscht. Dann ist ${}y$ ein Fixpunkt von ${}\pi \tau$, und man kann ${}\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf ${}M'=M\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen ${}\tau _{j}$ auf ${}M'$ mit ${}\pi \tau =\prod _{j}\tau _{j}$ auf ${}M'$. Dies gilt dann auch auf ${}M$, und daher ist ${}\pi ={\left(\prod _{j}\tau _{j}\right)}\tau$.

Zur bewiesenen Aussage