a) Es seien alle
surjektiv und sei
. Zu jedem
gibt es ein
mit
. Daher ist
ein Urbild von
unter
.
Es sei umgekehrt
surjektiv, und sei
gegeben. Da die
alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein
. Wir setzen
-
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild
. Für die
-te Komponente davon muss
gelten.
b) Es sei
, sei
die leere Abbildung und seien
und
irgendwelche
(nichtleere)
Mengen und sei
eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist

und

und daher ist die Produktabbildung

ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle

surjektiv sind.