Endliche Symmetriegruppe/Tetraeder aus numerischer Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung gibt es drei Halbachsenklassen der Ordnung ${}2,3$ und ${}3$, ihre Elementanzahl ist daher ${}6,4$ und ${}4$. Betrachten wir eine Halbachsenklasse ${}K$ der Ordnung ${}3$ mit ihren vier äquivalenten Halbachsen und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}.$

Sei ${}g\in G$ eine Dritteldrehung um eine Halbachse ${}H\in K$. Sie lässt ${}H$ fest und bewirkt eine Permutation der drei anderen Halbachsen in der Klasse. Diese Permutation kann nicht die Identität sein, da sonst ${}g$ mindestens zwei Achsen fest ließe und damit ${}g$ die (Raum)-Identität wäre. Da ${}g$ die Ordnung ${}3$ besitzt, muss diese Permutation ein Dreierzykel sein. Insbesondere gehören die vier Halbachsen zu verschiedenen Achsen, und die Doppeldrehung ${}g^{2}$ bewirkt den anderen Dreierzykel. Da man diese Überlegung mit jeder der vier Halbachsen aus ${}K$ anstellen kann, sieht man, dass ${}G$ sämtliche Dreierzykel der Permutationsgruppe der vier Halbachsen bewirkt. Das Bild des Gruppenhomomorphismus ist daher genau die alternierende Gruppe ${}A_{4}$ und damit ist ${}G\cong A_{4}$. Diese ist nach Aufgabe isomorph zur Tetraedergruppe.

Zur bewiesenen Aussage