Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Charaktere/Bemerkung

Fakt liefert die Grundlage zur Bestimmung der Invariantenringe unter den natürlichen Operationen der endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Insbesondere erlaubt dieser Satz folgende Strategie: Wenn ${}G$ gar keine nichttrivialen Charaktere besitzt, so sind die im Satz konstruierten Semiinvarianten sogar Invarianten. Andernfalls gibt es einen nichttrivialen Charakter und damit einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {Z} /(r)$

mit ${}r\geq 2$. Der Kern ${}N=\operatorname {kern} \varphi$ ist eine echte Untergruppe von ${}G$ und kommt ebenfalls in der Liste aus Fakt vor, besitzt aber eine kleinere Ordnung. Da ${}N$ ein Normalteiler in ${}G$ ist, können wir den Invariantenring zu ${}G$ aus dem Invariantenring zu ${}N$ mittels Fakt  (3) ausrechnen.