Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine endliche Untergruppe mit ihrer natürlichen Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[U,V]$. Es sei ${}H=\pi (G)$ die zugehörige Untergruppe von ${}\operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ und es sei ${}K$ eine Bahn zur Operation von ${}H$ auf der Sphäre ${}S^{2}$, die wir auch mit der komplex-projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und der Menge der eindimensionalen Untervektorräume in ${}{\mathbb {C} }^{2}$ identifizieren. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zur Klasse ${}K$ mit den darin enthaltenen Punkten (in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$)

   $(a_{1}:b_{1}),\,(a_{2}:b_{2}),\ldots ,(a_{r}:b_{r})$

   ist das Polynom

   ${}F:=\prod _{j=1}^{r}{\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\,$

   ${}G$-semiinvariant.

2. Insbesondere ist zu einer Halbachsenklasse

   $K=(a_{1}:b_{1}),\,(a_{2}:b_{2}),\ldots ,(a_{r}:b_{r})$

   das Polynom

   ${}F:=\prod _{j=1}^{r}{\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\,$

   ${}G$-semiinvariant.

3. Wenn ${}F\in {\mathbb {C} }[U,V]$ ein homogenes, ${}G$-semiinvariantes Polynom mit der Faktorzerlegung

   ${}F=\prod _{j=1}^{s}{\left(d_{j}U-c_{j}V\right)}\,$

   ist, und wenn ${}(c:d)$ einer dieser (Nullstellen)-Punkte ist, so ist auch ${}h(c:d)$ für ${}h\in H$ ein solcher Punkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen