Endliche kommutative Ringe/6 Elemente/Charakterisiere/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei ${}\mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Ringhomomorphismus, der ${}1$ auf ${}1$ schickt. Die (additive) Ordnung der ${}1$ in ${}R$ (also die Charakteristik von ${}R$) ist ein Teiler von ${}6$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung ${}2$ (oder ${}3$) wäre ${}R$ eine ${}{\mathbb {F} }_{2}$

(bzw. ${}{\mathbb {F} }_{3}$-)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung ${}6$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also ${}R\cong \mathbb {Z} /(6)$, und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.

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