Endliche zyklische Gruppe/Charaktergruppe nach K^x/1 oder -1/Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}D^{\vee }$ mit Werten in einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$

nur die Werte ${}1$ und ${}-1$ annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass ${}\psi$ genau dann den Wert ${}-1$ annimmt, wenn ${}n$ gerade ist.

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