Endliche zyklische Gruppe/Untergruppe/Ist zyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u$ ein Erzeuger von ${}G$, d.h. jedes Element ${}z\in G$ lässt sich darstellen als ${}ku$ mit ${}k\in \mathbb {Z}$. Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dazu definieren wir die Menge

${}M={\left\{k\in \mathbb {Z} \mid ku\in H\right\}}\,.$

Dies ist eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$. Aus ${}ku\in H$ und ${}mu\in H$ folgt sofort aufgrund von Fakt

${}(k+m)u=ku+mu\in H\,,$

also ${}k+m\in M$. Ebenso gehört wegen

${}(-k)u=-(ku)\in H\,$

auch das Negative zu ${}M$. Daher ist nach Fakt ${}M=\mathbb {Z} d$ mit einem eindeutig bestimmten ${}d\geq 0$. Wir behaupten, dass

${}H=(du)\,$

ist, dass also das ${}d$-Fache von ${}u$ die Untergruppe erzeugt. Wegen ${}d\in M$ ist ${}du\in H$ und die Inklusion ${}(du)\subseteq H$ klar. Es sei umgekehrt ${}h\in H$ und ${}h=ku$. Dann ist ${}k=rd$ für ein ${}r\in \mathbb {Z}$ und daher

${}h=ku=(rd)u=r(du)\,.$

Zur bewiesenen Aussage