Endlicher Körper/Exponentialfunktionen/Linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

1. Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung

   $f\colon K\longrightarrow K$

   eindeutig als ein Polynom vom Grad ${}<q$ schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{d}$ linear unabhängig.

2. Wir betrachten die ${}q\times q$-Matrix

   $(b^{d})_{0\leq b,d\leq q-1}.$

   In der ${}d$-ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von ${}x^{d}$ (an den Stellen ${}b$). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der ${}b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ (an den Stellen ${}d$). Nach Fakt sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.

Zur gelösten Aufgabe