Endlicher Körper/Nichtinvertierbare 2x2-Matrizen/Aufgabe/Lösung

Die ${}2\times 2$-Matrizen haben die Form

${\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$

mit ${}x,y,z,w\in K$. Die Eigenschaft, nicht invertierbar zu sein, kann man mit der Determinante durch die Bedingung

${}xw-yz=0\,$

ausdrücken. Wenn ${}w=0$ ist, so muss ${}y=0$ oder ${}z=0$ sein. Im ersten Fall gibt es für ${}x$ und ${}z$ jeweils ${}q$ Möglichkeiten. Im zweiten Fall gibt es für ${}x$ und ${}y$ ebenfalls jeweils ${}q$ Möglichkeiten, allerdings darf man ${}y=0$ nicht doppelt zählen. Somit erhalten wir bei ${}w=0$ insgesamt ${}q^{2}+q(q-1)$ Möglichkeiten. Es sei also ${}w\neq 0$. Dann gilt

${}x={\frac {yz}{w}}\,,$

d.h. ${}x$ ist durch die drei anderen Belegungen eindeutig bestimmt. Von dieser Art gibt es ${}(q-1)q^{2}$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

${}{\begin{aligned}q^{2}+q(q-1)+(q-1)q^{2}&=q^{2}+q^{2}-q+q^{3}-q^{2}\\&=q^{3}+q^{2}-q\end{aligned}}$

nichtinvertierbare ${}2\times 2$-Matrizen.

Zur gelösten Aufgabe