Endlicher Maßraum/Inklusion der Lebesgueräume/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f\in {\mathcal {L}}^{q}(X)$. Wie setzen

${}Z:={\left\{x\in X\mid \vert {f}\vert \leq 1\right\}}\,.$

Dann ist

${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =\int _{Z}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +\int _{X\setminus Z}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \,.$

Der linke Summand ist höchstens ${}\mu (Z)$ und insbesondere endlich. Für den rechten Summanden gilt

${}\int _{X\setminus Z}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \leq \int _{X\setminus Z}\vert {f}\vert ^{q}d\mu \leq \int _{X}\vert {f}\vert ^{q}d\mu \,,$

was nach Voraussetzung auch endlich ist.

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