Endlicher Raum/3 Punkte/Einer generisch/Generisch Z/Kohomologie/Beispiel

Wir betrachten den topologischen Raum ${}X=\{a,b,c\}$ mit den offenen Mengen ${}\emptyset ,X,U=\{a,c\},V=\{b,c\},U\cap V=\{c\}$. Dieser Raum besitzt die beiden abgeschlossenen Punkte ${}a$ und ${}b$, er ist irreduzibel und ${}c$ ist der generische Punkt. Abgesehen von der leeren Menge bilden die offenen Mengen das Inklusionsdiagramm

${\begin{matrix}X&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&U&\\\uparrow &&\uparrow &\\V&{\stackrel {}{\longleftarrow }}&U\cap V&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$ ist gegeben, wenn man diesen Teilmengen Gruppen und Restriktionshomomorphismen zuweist (und die Verträglichkeitsbedingung überprüft). Wir betrachten die Garbe ${}{\mathcal {F}}$, die durch

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

gegeben ist. Diese kann man in die konstante Garbe ${}{\mathcal {F}}$ (mit Identitäten)

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

einbetten. Die Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ ist durch

${\begin{matrix}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &{\stackrel {p_{2}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\!\!\!\!\!p_{1}\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

gegeben. Die Werte für ${}U\cap V,U,V$ ergeben sich direkt durch Restklassenbildung, die Vergarbung hat keinen Effekt, und für ${}X$ ergibt sich das Produkt ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, da die Schnitte über ${}U$ und ${}V$ automatisch verträglich sind. Somit ist die globale Abbildung

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}=\mathbb {Z} \longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$

nicht surjektiv, die lange exakte Kohomologiesequenz ist vielmehr

$0\longrightarrow 0\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} {\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\mathbb {Z} \longrightarrow 0.$

Hierbei geht vorne ${}n\mapsto (n,n)$ und hinten ${}(r,s)\mapsto (r-s)$ (das folgt aus der Exaktheit).