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Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Totale Wahrscheinlichkeit/Fakt/Beweis
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Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Totale Wahrscheinlichkeit/Fakt
Beweis
Es ist
P
(
E
)
=
P
(
E
∩
(
B
1
⊎
B
2
⊎
…
⊎
B
n
)
)
=
P
(
(
E
∩
B
1
)
⊎
(
E
∩
B
2
)
⊎
…
⊎
(
E
∩
B
n
)
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
E
∩
B
i
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
B
i
)
⋅
P
(
E
|
B
i
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}P(E)&=P(E\cap (B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}))\\&=P((E\cap B_{1})\uplus (E\cap B_{2})\uplus \ldots \uplus (E\cap B_{n}))\\&=\sum _{i=1}^{n}P(E\cap B_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(E{|}B_{i}).\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage
