Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Für die leere Menge gilt

   ${}P(E\cap \emptyset )=P(\emptyset )=0=P(E)\cdot P(\emptyset )\,$

   und für die Gesamtmenge ist

   ${}P(E\cap M)=P(E)=P(E)\cdot 1=P(E)\cdot P(M)\,.$

2. Seien ${}E$ und ${}F$ unabhängig. Dann ist nach Fakt  (3)

   ${}{\begin{aligned}P(E\cap (M\setminus F))&=P(E\setminus E\cap F)\\&=P(E)-P(E\cap F)\\&=P(E)-P(E)\cdot P(F)\\&=P(E)(1-P(F))\\&=P(E)P(M\setminus F),\end{aligned}}$

   was die behauptete Unabhängigkeit bedeutet.
3. Die Unabhängigkeit von ${}E$ mit sich selbst bedeutet

   ${}P(E)=P(E\cap E)=P(E)\cdot P(E)=P(E)^{2}\,,$

   diese Gleichung erfüllen nur die Zahlen ${}0$ und ${}1$.

Zur bewiesenen Aussage