Endomorphismus/Einfache Eigenschaften von invarianten Unterräumen/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum ${}0\subseteq V$ ist ${}\varphi$-invariant.
2. ${}V$ ist ${}\varphi$-invariant.
3. Eigenräume sind ${}\varphi$-invariant.
4. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ ${}\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch ${}U_{1}\cap U_{2}$ und ${}U_{1}+U_{2}$ ${}\varphi$-invariant.
5. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum ${}\varphi (U)$ und der Urbildraum ${}\varphi ^{-1}(U)$ ${}\varphi$-invariant.

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