Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Zerlegung/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}V=U\oplus W$ eine direkte Zerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension ${}k$ bzw. ${}n-k$. Wir wählen eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ von ${}U$ und eine Basis ${}v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von ${}W$, die zusammengenommen eine Basis von ${}V$ bilden. Wegen der Invarianz ist einerseits

${}\varphi (v_{i})\in U=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$

für ${}i\leq k$, also

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$

für ${}i\leq k$, und andererseits

${}\varphi (v_{i})\in W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$

für ${}i\geq k+1$, also

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=k+1}^{n}a_{ji}v_{j}\,$

für ${}i\geq k+1$. Daher sind in der beschreibenden Matrix von ${}\varphi$ bezüglich dieser Matrix alle Einträge im ${}k$-Block links unten und im ${}n-k$-Block rechts oben gleich ${}0$.

Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{k}a_{ji}v_{j}\,$

für ${}i\leq k$ und

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=k+1}^{n}a_{ji}v_{j}\,$

für ${}i\geq k+1$ gilt. Dies bedeutet, dass

${}U:=\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle \,$

und

${}W:=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$

auf sich selbst abgebildet werden. Dies sind also invariante Untervektorräume der gesuchten Dimensionen, und ihre Summe ist direkt, da sie durch disjunkte Teilmengen einer Basis gegeben sind.

Zur gelösten Aufgabe