Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Zerlegung/Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst eine direkte Zerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension bzw. . Wir wählen eine Basis von und eine Basis von , die zusammengenommen eine Basis von bilden. Wegen der Invarianz ist einerseits

für , also

für , und andererseits

für , also

für . Daher sind in der beschreibenden Matrix von bezüglich dieser Matrix alle Einträge im -Block links unten und im -Block rechts oben gleich .

Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass

für und

für gilt. Dies bedeutet, dass

und

auf sich selbst abgebildet werden. Dies sind also invariante Untervektorräume der gesuchten Dimensionen, und ihre Summe ist direkt, da sie durch disjunkte Teilmengen einer Basis gegeben sind.