Endomorphismus/K/Potenz/Darstellung/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit der Zerlegung (im Sinne von Fakt)

${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,$

mit einer (untereinander vertauschbaren) diagonalisierbaren und einer nilpotenten Abbildung mit

${}\varphi _{\rm {nil}}^{k}=0\,.$

Dann besitzen die Potenzen von ${}\varphi$ die Darstellung

${}\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen