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Endomorphismus/Kern von Polynom gleich direktem Produkt der Primärkomponenten von Primteilern/Fakt/Beweis
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Endomorphismus/Kern von Polynom gleich direktem Produkt der Primärkomponenten von Primteilern/Fakt
Beweis
Der
Kern
(
P
(
f
)
)
{\displaystyle {}\operatorname {Kern} \left(P(f)\right)}
ist selbstverständlich im Torsionsuntermodul
t
V
f
{\displaystyle {}\operatorname {t} V_{f}}
enthalten und zerfällt, weil
P
V
(
p
)
⊆
V
(
p
)
{\displaystyle {}PV(p)\subseteq V(p)}
für alle Primpolynome
p
{\displaystyle {}p}
, in die direkte Summe der Untermoduln
Kern
(
P
(
f
)
)
∩
V
(
p
)
=
{
x
∈
V
f
|
p
(
f
)
(
x
)
=
0
und
P
(
f
)
(
x
)
=
0
}
.
{\displaystyle \operatorname {Kern} \left(P(f)\right)\cap V(p)=\left\{x\in V_{f}{|}p(f)(x)=0{\text{ und }}P(f)(x)=0\right\}.}
Dies ist
V
e
i
(
P
i
)
{\displaystyle {}V^{e_{i}}(P_{i})}
, immer wenn
p
=
P
i
{\displaystyle {}p=P_{i}}
für ein
i
∈
{
1
,
…
,
r
}
{\displaystyle {}i\in \{1,\ldots ,r\}}
und
0
{\displaystyle {}0}
sonst.
Zur bewiesenen Aussage