Entfaltung/Kritische Punkte/Parameterabhängig/Bemerkung

Bei einer Entfaltung

$E\colon {\mathbb {C} }^{n}\times {\mathbb {C} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

variieren die kritischen Punkte von

${}f_{w}=E(-,w)\,$

(und die singulären Punkte der Hyperflächen ${}V(f_{w})$) mit dem Parameter ${}w\in {\mathbb {C} }^{m}$. Eigenschaften der kritischen Punkte (wie ihre Anzahl, ihre Multiplizität, ihre Milnorzahl) definieren Bedingungen an die Parameter. Bei ${}n=1$ sind die kritischen Punkte einfach die Nullstellen der Ableitung von ${}f_{w}$, die einfach oder mehrfach sein können. Bei

${}E(x,w)=x^{3}+wx\,$

liegt zum Parameterwert ${}w=0$ ein kritischer Punkt im Nullpunkt der Ordnung ${}3$ (Milnorzahl ${}2$) vor, bei ${}w\neq 0$ gibt es zwei kritische Punkte, nämlich bei

${}x=\pm {\sqrt {w/3}}\,,$

die jeweils Ordnung ${}2$ haben (Milnorzahl ${}1$). Reell betrachtet (man skizziere den Gesamtgraphen von ${}E$) liegt in einem der Punkte ein lokales Minimum, im anderen ein lokales Maximum vor. Wenn sich der Parameter auf ${}0$ zubewegt, so fallen die beiden singulären Punkte zusammen. Solche Phänome, wie Singularitäten parameterabhängig zusammen- oder auseinanderfallen, werden unter dem Stichwort „Katastrophentheorie“ studiert.