Entkoppeltes Differentialgleichungssystem/Komponentenlösung/Eindeutigkeit in Komponenten/Aufgabe/Kommentar

Wir sollten uns zu Beginn klar machen, dass das Differntialgleichungssystem zum vorliegenden Vektorfeld bereits bezüglich der Standartbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ entkoppelt ist. Das heißt, dass die ${}i$-te Koordinate der Ableitung der Lösungsfunktion, ${}x_{i}'$, nur von der ${}i$-ten Koordiante der Lösungsfunktion, ${}x_{i}$, abhängt. Dabei ist die Koordinate bezüglich der Standardbasis gemeint. Wir müssen aber beachten, dass die ${}x_{i}'$ alle von demselben Zeitparameter ${}t$ abhängen. Hierzu kommen wir gleich. Wie im Beispiel erwähnt, muss nun für jede Koordinate lediglich die eindimensionale Differntialgleichung

$x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})$

gelöst werden. Dabei können diese natürlich von verschienden Typen sein, z.B. in einer Koordinate ist es eine gewöhnliche homogene Differntialgleichung und in einer anderen Koordinate ist es eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Falls wir die Differentialgleichungen in jeder Koordinate lösen können, erhalten wir die Funktionen

$x_{i}\colon I_{i}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto x_{i}(t).$

Dabei sind ${}I_{i}\subset \mathbb {R}$ offene Intervalle, auf denen die einzelnen Lösungen existieren. Die Gesamtlösung besteht nun Koordinatenweise aus den Einzellösungen

$x\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto (x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t)).$

Das Intervall ${}I$, auf dem die Gesamtlösung existiert, ist dabei gleich dem Schnitt über die einzelenen Lösungsintervall der Koordianten, ${}I=I_{1}\cap \cdots \cap I_{n}$. Dies liegt daran, dass sich, wie zu Beginn erwähnt, alle Koordinaten den Zeitparameter ${}t$ teilen. Dies führt auch dazu, dass wenn zwei Einzellösungen nur zu unterschiedlichen Zeiten existieren, die Gesamtlösung des Systems leer ist.

Falls ein Anfangswert vorgegeben ist und die koordiantenweisen Einzellösungen dadurch eindeutig bestimmt sind (dies ist immer der Fall, wenn diese von bereits bekannten Typen sind), dann ist auch die Gesamtlösung aufgrund der Eindeutigkeit der Basisdarstellung eindeutig.

Zur kommentierten Aufgabe