Erste Primzahlen/Abschätzung für nächste Primzahl/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}N:=p_{1}\cdots p_{n}+1\,$

und behaupten dass es (einschließlich) unterhalb von ${}N$ eine weitere Primzahl geben muss. Die Zahl ${}N$ besitzt nämlich eine Primfaktorzerlegung und insbesondere einen Primteiler ${}q$ mit

${}q\leq N\,.$

Diese Primzahl ${}q$ ist von allen Primzahlen ${}p_{i}$, ${}1\leq i\leq n$,

verschieden, da ${}N$ bei Division durch diese Primzahlen stets den Rest ${}1$ besitzt.

Zur gelösten Aufgabe