Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Arithmetisch/Wahr nicht beweisbar/Fakt/Beweis

Beweis

Die Korrektheit bedeutet, dass ${}\Gamma ^{\vdash }\subseteq \mathbb {N} ^{\vDash }$ gilt. Dies sichert zugleich die Widerspruchsfreiheit von ${}\Gamma$. Gemäß Fakt gibt es einen Satz ${}q$, der weder selbst noch seine Negation ${}\neg q$ aus ${}\Gamma$ ableitbar ist. Da aber ${}\mathbb {N} ^{\vDash }$ vollständig ist, muss entweder ${}q$ oder ${}\neg q$ in ${}\mathbb {N}$ wahr sein.

Zur bewiesenen Aussage