Erweiterungsideal/Summe und Produkt/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein Ringhomomorphismus und es seien ${}{\mathfrak {a}}_{1},{\mathfrak {a}}_{2}$ Ideale in ${}A$. Beweise für die Erweiterungsideale die Gleichheiten

${}{\left({\mathfrak {a}}_{1}+{\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\mathfrak {a}}_{1}B+{\mathfrak {a}}_{2}B\,$

und

${}{\left({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\right)}B={\left({\mathfrak {a}}_{1}B\right)}\cdot {\left({\mathfrak {a}}_{2}B\right)}\,.$

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