Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt mit Beweisklappe

Lemma

Es sei ${}R$ ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion

$N\colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}$

(es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann für ${}f\in R$ die Zahl ${}N(f)$ prim, so ist ${}f$ irreduzibel in ${}R$.

Beweis

Sei ${}f=gh$ eine Faktorzerlegung. Dann ist ${}N(f)=N(g)N(h)$ und da nach Voraussetzung ${}N(f)$ eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir ${}N(h)$, eine Einheit ist, also ${}N(h)=1$. Wir wenden auf ${}1$ und ${}h$ die Division mit Rest an und erhalten

${}1=qh+r\,,$

wobei ${}r=0$ ist oder ${}N(r)<N(h)=1$. Letzteres ist aber ausgeschlossen, so dass ${}r=0$ sein muss und damit ist ${}h$ eine Einheit. Also ist ${}f$ irreduzibel.

$\Box$