Euklidische Ebene/(4,5)/Abstand zu 2x-3y ist 7/Beispiel

Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes ${}P={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$ zu der Geraden ${}G$, die durch ${}2x-3y=7$ gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ ist ein zu ${}G$ orthogonaler Vektor. Es ist

${}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\-5\end{pmatrix}}=-{\frac {23}{26}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist der Lotfußpunkt gleich

${}{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}+{\frac {14}{13}}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {80}{13}}\\{\frac {23}{13}}\end{pmatrix}}\,$

und der Abstand ist

${\frac {14}{13}}{\sqrt {13}}.$