Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}(x,y)$ und ${}(u,v)$ die Bilder der Standardvektoren ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$. Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

${}\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1\,.$

Daher ist ${}x$ eine reelle Zahl zwischen ${}-1$ und ${}+1$ und ${}y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, d.h. ${}(x,y)$ ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel ${}\theta$, ${}0\leq \theta <2\pi$, mit

${}(x,y)=(\operatorname {cos} \,\theta ,\operatorname {sin} \,\theta )\,.$

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

${}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\right\rangle =xu+yv=0\,$

gelten. Bei ${}y=0$ folgt daraus (wegen ${}x=\pm 1$) ${}u=0$. Dann ist ${}v=\pm 1$ und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von ${}x$ sein. Es sei also ${}y\neq 0$. Dann gilt

${}{\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\frac {u}{y}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Da die beiden Vektoren die Länge ${}1$ haben, muss der skalare Faktor ${}u/y$ den Betrag ${}1$ haben. Bei ${}u=y$ wäre ${}v=-x$ und die Determinante wäre ${}-1$. Also muss $u=-y$ und $v=x$ sein, was die Behauptung ergibt.

Zur bewiesenen Aussage