Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt/Beweis

Beweis

Zu ${}u\in U$ ist nach dem Satz des Pythagoras

${}d(v,u)^{2}=d(v,p_{U}(v))^{2}+d(p_{U}(v),u)^{2}\,,$

da ja ${}p_{U}(v)-u\in U$ und ${}v-p_{U}(v)\in U^{\perp }$ aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird genau dann minimal, wenn ${}d(p_{U}(v),u)=0$ ist, was genau bei

${}p_{U}(v)=u\,$

der Fall ist.

Zur bewiesenen Aussage