Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

${}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,$

und nach Fakt ist

${}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Es stehen ${}p_{U}(v)$ und ${}v-p_{U}(v)$ senkrecht aufeinander, daher ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

${}{\begin{aligned}d(v,U)^{2}&=\Vert {v-p_{U}(v)}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {p_{U}(v)}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage