Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

{}d(v,U)=d(v,p_{U}(v))\,

und nach Fakt ist

{}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.

Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ . Also ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

{}{\begin{aligned}d(v,U)^{2}&=d{\left(v,\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=d{\left(\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i},\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\right)}^{2}\\&=\Vert {\sum _{i=m+1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}}\Vert ^{2}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}-\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}