Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}N$ die Niveaumenge zu ${}c\in \mathbb {R}$, in der die Kurve ${}h$ verlaufe. Dann ist die Hintereinanderschaltung ${}f\circ h$ konstant gleich ${}c$ und daher ist unter Verwendung der Kettenregel

${}0=\left(D(f\circ h)\right)_{0}=\left(Df\right)_{P}\circ \left(Dh\right)_{0}\,.$

Daher liegt

${}\left(Dh\right)_{0}(1)=h'(0)\,$

im Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$, und das bedeutet, dass ${}h'(0)$ senkrecht auf dem Gradienten steht.

Zur bewiesenen Aussage