Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis und Isometrie vom R^n/Aufgabe/Lösung

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V$

die durch ${}e_{i}\mapsto \varphi (e_{i})=u_{i}$ gegebene lineare Abbildung. Wenn ${}\varphi$ eine Isometrie ist, so ist

${}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\left\langle \varphi (e_{i}),\varphi (e_{j})\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,,$

also haben die Bildvektoren die Norm ${}1$ und stehen senkrecht aufeinander. Da es ${}n$ Vektoren sind und ${}V$ ${}n$-dimensional ist, liegt eine Basis und somit eine Orthonormalbasis vor.

Es sei umgekehrt ${}\varphi (e_{i})$ eine Orthonormalbasis. Dann gilt für beliebige Vektoren ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}$ und ${}w=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}$ einerseits

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,$

und andererseits

${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle &=\left\langle \varphi (\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}),\varphi (\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i})\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (e_{i}),\sum _{i=1}^{n}b_{i}\varphi (e_{i})\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe