Euklidischer Vektorraum/Orthonormalbasis und Isometrie vom R^n/Aufgabe/Lösung

Es sei

die durch gegebene lineare Abbildung. Wenn eine Isometrie ist, so ist

also haben die Bildvektoren die Norm und stehen senkrecht aufeinander. Da es Vektoren sind und -dimensional ist, liegt eine Basis und somit eine Orthonormalbasis vor.

Sei umgekehrt eine Orthonormalbasis. Dann gilt für beliebige Vektoren und einerseits

und andererseits