Euklidischer Vektorraum/Skalarprodukt auf Dualraum/Isometrie/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$.

1. Zeige, dass durch

   ${}\left\langle f,g\right\rangle :=\left\langle \operatorname {Grad} \,f,\operatorname {Grad} \,g\right\rangle \,$

   ein Skalarprodukt auf dem Dualraum erklärt wird.

2. Zeige, dass die natürliche Abbildung

   $V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$

   eine Isometrie zwischen ${}V$ und ${}{V}^{*}$ stiftet.

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