Existenzeinführung/Antezedenz/Keine interne Tautologie/Bemerkung

Die Variablenbedingung in der Existenzeinführung im Antezedenz ist wesentlich. Das zeigt am besten die Betrachtung ${}\beta =\alpha$, wobei darin die Variable ${}x=y$ frei vorkommen möge (also z.B. ${}\alpha =Rx$, wobei ${}R$ ein einstelliges Relationssymbol sei). Dann ist natürlich

$\vdash \alpha \rightarrow \alpha$

richtig, und die Variablenbedingung an ${}x$, bezogen auf diesen Ausdruck, ist nicht erfüllt. Die Aussage

$\exists x\alpha \rightarrow \alpha ,$

die man unter Missachtung dieser Variablenbedingung ableiten könnte, ist keine Tautologie. Aus der Existenz eines Elementes ${}m\in M$, das die Relation ${}R^{M}$ erfüllt, folgt ja keineswegs, dass die Relation für alle Elemente gilt. Diese Ableitungsregel lässt sich also insbesondere nicht durch eine interne Tautologie ersetzen.