Exponentialfunktion/Durchschnittswert/Länge 1/Aufgabe/Lösung

1. Da das Intervall die Länge ${}1$ besitzt, ist der Durchschnittswert gleich

   ${}\int _{a}^{a+1}e^{x}dx=e^{a+1}-e^{a}=e^{a}(e-1)\,.$

2. Es ist das (wegen der strengen Monotonie eindeutige) ${}c$ gesucht mit ${}e^{c}=e^{a}(e-1)$. Logarithmieren ergibt

   ${}c=\ln \left(e^{a}(e-1)\right)=\ln \left(e^{a}\right)+\ln \left(e-1\right)=a+\ln \left(e-1\right)\,.$

3. Der Punkt ${}c$ hat immer den gleichen Abstand zu ${}a$, nämlich ${}\ln \left(e-1\right)$.

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