Exponentialfunktion/Gerade/Schnittverhalten/Aufgabe/Lösung


  1. Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, schneidet ihr Graph die -Achse nicht.
  2. Der Graph der Exponentialfunktion schneidet (wie jeder Graph) die -Achse in genau einem Punkt.
  3. Wenn die Gerade parallel zur -Achse ist, so gibt es nur einen Schnittpunkt. Es sei also die Gerade der Graph einer affin-linearen Funktion . Wir betrachten

    die Schnittpunkte der Graphen von und sind die Nullstellen von . Wir behaupten also, dass höchstens zwei Nullstellen besitzt. Es ist

    und dies hat (wegen der strengen Monotonie von ) höchstens eine Nullstelle. Betrachten wir zuerst den Fall, dass eine Nullstelle besitzt. Unterhalb dieser Nullstelle ist negativ und oberhalb davon positiv. D.h. nach Fakt, dass unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend ist. Daher gibt es in diesen beiden Bereichen jeweils höchstens eine Nullstelle. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist überall positiv und daher ist streng wachsend und besitzt höchstens eine Nullstelle.