Exponentialfunktion/Gerade/Schnittverhalten/Aufgabe/Lösung

1. Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, schneidet ihr Graph die ${}x$-Achse nicht.
2. Der Graph der Exponentialfunktion schneidet (wie jeder Graph) die ${}y$-Achse in genau einem Punkt.
3. Wenn die Gerade parallel zur ${}y$-Achse ist, so gibt es nur einen Schnittpunkt. Es sei also die Gerade der Graph einer affin-linearen Funktion ${}y=g(x)=ax+b$. Wir betrachten

   ${}f(x)=e^{x}-g(x)=e^{x}-ax-b\,,$

   die Schnittpunkte der Graphen von ${}g$ und ${}e^{x}$ sind die Nullstellen von ${}f(x)$. Wir behaupten also, dass ${}f$ höchstens zwei Nullstellen besitzt. Es ist

   ${}f'(x)=e^{x}-a\,$

   und dies hat (wegen der strengen Monotonie von ${}e^{x}$) höchstens eine Nullstelle. Betrachten wir zuerst den Fall, dass ${}f'$ eine Nullstelle ${}c$ besitzt. Unterhalb dieser Nullstelle ist ${}f'(x)$ negativ und oberhalb davon positiv. D.h. nach Fakt, dass ${}f$ unterhalb von ${}c$ streng fallend und oberhalb von ${}c$ streng wachsend ist. Daher gibt es in diesen beiden Bereichen jeweils höchstens eine Nullstelle. Wenn ${}f'$ keine Nullstelle besitzt, so ist ${}f'$ überall positiv und daher ist ${}f$ streng wachsend und besitzt höchstens eine Nullstelle.

Zur gelösten Aufgabe