Exponentialfunktion/Orthogonal zu Polynom vom Grad 1/Symmetrisches Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

Mit partieller Integration ist

${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}e^{x}(ax+b)dx&=\int _{-1}^{1}e^{x}(ax+b)dx\\&=\left(axe^{x}-ae^{x}+be^{x}\right)|_{-1}^{1}\\&=ae-ae+be+ae^{-1}+ae^{-1}-be^{-1}\\&=be+2ae^{-1}-be^{-1}\\&=b{\left(e-e^{-1}\right)}+2ae^{-1}.\end{aligned}}$

Die Orthogonalitätsbedingung und die Normierung ${}a=1$ führt auf

${}b=-{\frac {2e^{-1}}{e-e^{-1}}}=-{\frac {2}{e^{2}-1}}\,,$

ein orthogonales Polynom ist also ${}x-{\frac {2}{e^{2}-1}}$.

Zur gelösten Aufgabe