Exponentialfunktion/Polynomiale Approximation/-5 bis 3/0,001/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zur Exponentialreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ die Teilpolynome

${}P_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.$

Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit

$\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},$

und der Betrag davon soll für jedes ${}x\in [-5,3]$ maximal gleich ${}0,001$ sein. Wegen

${}\vert {\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\vert {\frac {x^{n}}{n!}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\,$

müssen wir ${}k$ so wählen, dass

${}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\leq 0,001={\frac {1}{1000}}\,$

ist. Wir betrachten

${}{\begin{aligned}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{(k+1+j)!}}5^{j}\right)}\\&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {5^{j}}{(k+2)(k+3)\cdots (k+1+j)}}\right)}\\&\leq {\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {5}{k+2}}\right)}^{j}\right)}.\end{aligned}}$

Bei ${}5<k+2$ liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei ${}k\geq 8$ ist deren Wert maximal gleich ${}2$. Bei ${}k\geq 10$ (bzw. ${}\geq 13$) können wir grob abschätzen

${}{\begin{aligned}{\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}&={\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5}{9}}\cdots {\frac {5}{5}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdots {\frac {5}{1}}\\&\leq {\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-8}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-13}.\end{aligned}}$

Wegen ${}2^{10}\geq 1000$ ist dies bei ${}k\geq 24$ kleiner als ${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1000}}$. Daher ist ${}P_{24}=\sum _{n=0}^{24}{\frac {x^{n}}{n!}}$ ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.

Zur gelösten Aufgabe