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Exponentialfunktionen/Summe/Minimum/Aufgabe/Lösung
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Exponentialfunktionen/Summe/Minimum/Aufgabe
Es ist
f
′
(
x
)
=
(
ln
a
)
a
x
+
(
ln
b
)
b
x
.
{\displaystyle {}f'(x)={\left(\ln a\right)}a^{x}+{\left(\ln b\right)}b^{x}\,.}
Die Bedingung
(
ln
a
)
a
x
+
(
ln
b
)
b
x
=
0
{\displaystyle {}{\left(\ln a\right)}a^{x}+{\left(\ln b\right)}b^{x}=0\,}
ist äquivalent zu
(
ln
a
)
a
x
=
−
(
ln
b
)
b
x
{\displaystyle {}{\left(\ln a\right)}a^{x}=-{\left(\ln b\right)}b^{x}\,}
und zu
−
ln
a
ln
b
=
b
x
a
x
=
e
x
ln
b
e
x
ln
a
=
e
x
ln
b
−
x
ln
a
=
e
x
(
ln
b
−
ln
a
)
.
{\displaystyle {}-{\frac {\ln a}{\ln b}}={\frac {b^{x}}{a^{x}}}={\frac {e^{x\ln b}}{e^{x\ln a}}}=e^{x\ln b-x\ln a}=e^{x{\left(\ln b-\ln a\right)}}\,.}
Dies ist äquivalent zu
x
(
ln
b
−
ln
a
)
=
ln
(
−
ln
a
ln
b
)
=
ln
(
−
ln
a
)
−
ln
(
ln
b
)
{\displaystyle {}x{\left(\ln b-\ln a\right)}=\ln \left(-{\frac {\ln a}{\ln b}}\right)=\ln \left(-\ln a\right)-\ln \left(\ln b\right)\,}
und schließlich zu
x
=
ln
(
−
ln
a
)
−
ln
(
ln
b
)
ln
b
−
ln
a
.
{\displaystyle {}x={\frac {\ln \left(-\ln a\right)-\ln \left(\ln b\right)}{\ln b-\ln a}}\,.}
In diesem Punkt wird das globale Minimum angenommen, da
f
(
x
)
{\displaystyle {}f(x)}
sowohl für
x
↦
∞
{\displaystyle {}x\mapsto \infty }
als auch für
x
↦
−
∞
{\displaystyle {}x\mapsto -\infty }
gegen
+
∞
{\displaystyle {}+\infty }
strebt.
Zur gelösten Aufgabe
