Wähle ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} , N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } beliebig, und n ∈ N ∧ n ≥ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} \land n\geq N} mit R ∋ x = 2 ( n + 1 ) ! n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} \ni x={\sqrt[{n+1}]{2(n+1)!}}} .
⇒ x > 0 ⇒ ∑ k=0 n x k k ! > 0 {\displaystyle \Rightarrow x>0\Rightarrow \sum _{\text{k=0}}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}>0} und streng monoton wachsend.
⇒ | {\displaystyle \Rightarrow |} exp ( x ) − ∑ k=0 n x k k ! | = ∑ k=0 ∞ x k k ! − ∑ k=0 n x k k ! = ∑ k=n+1 ∞ x k k ! > ∑ k=n+1 n + 1 x k k ! {\displaystyle (x)-\sum _{\text{k=0}}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}|=\sum _{\text{k=0}}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}-\sum _{\text{k=0}}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{\text{k=n+1}}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}>\sum _{\text{k=n+1}}^{n+1}{\frac {x^{k}}{k!}}} =
= x n + 1 ( n + 1 ) ! = ( 2 ( n + 1 ) ! ) ) n + 1 n + 1 ( n + 1 ) ! = 2 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! = 2 > ϵ {\displaystyle ={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {{\sqrt[{n+1}]{(2(n+1)!))}}^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {2(n+1)!}{(n+1)!}}=2>\epsilon }
⇒ {\displaystyle \Rightarrow } Die Exponentialreihe konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz R {\displaystyle \mathbb {R} } ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } Die Exponentialreihe konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz C {\displaystyle \mathbb {C} } .
![{\displaystyle \mathbb {R} \ni x={\sqrt[{n+1}]{2(n+1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8842d2c958faef6ae9472286c5f0132a6f5353)
![{\displaystyle ={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {{\sqrt[{n+1}]{(2(n+1)!))}}^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {2(n+1)!}{(n+1)!}}=2>\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2603f821ed9b62215d1f4cd1b59ee04288693f)
