Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt

Die Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ ist ${}\exp \left(-x\right)=(\exp x)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp x\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für jedes ${}x$ ist ${}\exp x\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für ${}x>0$ ist ${}\exp x>1$ und für ${}x<0$ ist ${}\exp x<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen